6ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Un chiffre, c'est comme une lettre : il y en a dix (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Un nombre, c'est un « mot » écrit avec des chiffres. Par exemple 47 est un nombre écrit avec les deux chiffres 4 et 7.
Un même chiffre ne vaut pas la même chose selon sa position. Dans 333, le premier 3 vaut 300, le deuxième 30 et le troisième 3. On lit les positions dans un tableau de numération :
La virgule sépare la partie entière (à gauche) de la partie décimale (à droite).
Dans 12,5 : la partie entière est 12, le chiffre 5 est à la position des dixièmes. On lit « douze unités et cinq dixièmes », ou plus simplement « douze virgule cinq ».
Décomposer, c'est écrire le nombre comme une somme selon les positions :
Pour comparer deux décimaux : on compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare chiffre par chiffre après la virgule, en partant des dixièmes.
Astuce : 3,5 = 3,50 = 3,500. Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre. Cela aide à comparer 3,5 et 3,48 : on écrit 3,50 et 3,48, donc 3,50 > 3,48.
Attention : un nombre avec plus de chiffres après la virgule n'est pas forcément plus grand ! 3,5 est plus grand que 3,48.
Une demi-droite graduée part de 0 et va vers la droite. On repère chaque nombre par sa distance à 0. Entre deux graduations entières, on partage en petits intervalles égaux (souvent 10) pour placer les dixièmes.
Encadrer 7,3 à l'unité : c'est trouver les deux entiers qui l'entourent → 7 < 7,3 < 8.
Arrondir : on choisit la valeur la plus proche. Pour arrondir à l'unité, on regarde le chiffre des dixièmes : s'il est 0,1,2,3,4 on arrondit vers le bas ; s'il est 5,6,7,8,9 on arrondit vers le haut. Donc 7,3 arrondi à l'unité donne 7, et 7,6 donne 8.
Avant la leçon, voyons à quoi servent les nombres décimaux. Au supermarché, un pain coûte 1 euro 20 : c'est 1,20 euro, un nombre à virgule. Quand tu mesures ta taille, tu fais peut-être 1 mètre 45, c'est-à-dire 1,45 mètre.
Et en classe, quand la maîtresse rend une note de 8 et demi, elle écrit 8,5. Les prix, les mesures de longueur, les poids, les notes : dès qu'on a besoin de plus de précision que les nombres entiers, on utilise la virgule. Les décimaux servent à mesurer et à compter avec exactitude tout ce qui nous entoure.
Le secret des nombres, c'est la position. Range chaque chiffre dans une colonne : à gauche de la virgule les unités, les dizaines, les centaines ; à droite de la virgule les dixièmes, les centièmes, les millièmes. Regarde le nombre 34,7 : le 3 est dans la colonne des dizaines, donc il vaut trente.
Le 4 est dans la colonne des unités, il vaut quatre. Et le 7, juste après la virgule, est dans la colonne des dixièmes, il vaut sept dixièmes, c'est-à-dire zéro virgule sept. Le même chiffre change de valeur selon sa colonne.
Décomposer un nombre, c'est le casser en morceaux pour bien voir ce que vaut chaque chiffre. Prenons 34,7. On sépare : trente, plus quatre, plus sept dixièmes.
Autrement dit trois fois dix, plus quatre fois un, plus sept fois zéro virgule un. Chaque morceau correspond à une colonne du tableau. En remettant tous les morceaux ensemble, on retrouve le nombre de départ.
C'est très utile pour comprendre pourquoi 34,7 est différent de 3,47 : les chiffres sont les mêmes, mais ils ne sont pas aux mêmes places.
Pour comparer deux décimaux, on procède par étapes. D'abord, on regarde la partie entière, à gauche de la virgule : le plus grand entier gagne. Si les parties entières sont égales, on compare alors les dixièmes, puis si besoin les centièmes, chiffre par chiffre.
Attention au piège : 3,5 est plus grand que 3,48, même si 3,48 a plus de chiffres après la virgule ! Pour le voir clairement, on peut écrire 3,5 comme 3,50 : ajouter un zéro à la fin ne change pas le nombre. Alors on compare 3,50 et 3,48, et 3,50 est bien le plus grand.
Imagine une règle qui part de zéro et file vers la droite : c'est une demi-droite graduée. Chaque nombre y a une place unique, à la bonne distance de zéro. Entre 7 et 8, on partage en dix petits intervalles pour placer les dixièmes : 7,3 se trouve à trois petits crans après 7.
Cette règle rend l'arrondi facile à comprendre. Arrondir 7,3 à l'unité, c'est chercher l'entier le plus proche : 7,3 est plus près de 7 que de 8, donc on arrondit à 7. La règle : si le chiffre des dixièmes vaut 5 ou plus, on monte ; sinon, on descend.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.