5ᵉ · Mathématiques · Grandeurs et mesures
L'aire mesure la place occupée par une figure, en unités « carrées » (cm², m²…). Voici les formules à connaître en 5ᵉ :
Attention : pour le triangle, on divise par 2 ; pour le parallélogramme, non !
Le cercle est la ligne (le contour) ; le disque est la surface pleine à l'intérieur. On note r le rayon.
Le nombre π (pi) vaut environ 3,14. Ne confonds pas le périmètre (avec le rayon simple) et l'aire (avec le rayon au carré).
Le volume mesure la place occupée dans l'espace, en unités « cubes » (cm³, m³…).
Pour un prisme comme pour un cylindre, l'idée est la même : on calcule l'aire de la base, puis on la multiplie par la hauteur. Pour le cylindre, la base est un disque, donc l'aire de base vaut π × r².
Un volume se mesure en unités « au cube » : le cm³ est le volume d'un cube de 1 cm de côté. Retiens : 1 dm³ = 1 000 cm³ et 1 m³ = 1 000 dm³. Pour les contenances (les liquides), l'unité est le litre :
Ainsi un pack d'un litre de jus occupe exactement 1 dm³, soit 1 000 cm³.
Avant les formules, voyons à quoi servent aires et volumes. Quand une usine fabrique une boîte de céréales, elle calcule le volume du pavé droit pour savoir combien de céréales entrent dedans, et l'aire du carton pour savoir combien de papier acheter. Quand tu remplis une piscine, tu calcules son volume pour connaître le nombre de litres d'eau nécessaires : plus la piscine est grande, plus la facture d'eau grimpe.
Et un fabricant de conserves calcule le volume de la boîte cylindrique pour savoir combien de grammes de petits pois elle contient. L'aire, c'est la surface ; le volume, c'est l'espace rempli à l'intérieur. Emballages, piscines, réservoirs : partout où l'on remplit quelque chose, il y a un volume à calculer.
Deux formules d'aire à bien distinguer. Pour le parallélogramme, on choisit une base et la hauteur qui lui correspond, c'est-à-dire la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé. L'aire, c'est simplement la base multipliée par la hauteur, comme pour un rectangle qu'on aurait penché.
Pour le triangle, c'est presque pareil, mais avec un piège : un triangle, c'est exactement la moitié d'un parallélogramme de mêmes base et hauteur. Donc son aire, c'est la base multipliée par la hauteur, le tout divisé par deux. L'erreur la plus fréquente est d'oublier ce division par deux pour le triangle.
Retiens : parallélogramme, base fois hauteur ; triangle, base fois hauteur divisé par deux.
Le cercle apporte un nombre très spécial : pi, qu'on écrit avec la lettre grecque, et qui vaut environ trois virgule quatorze. On appelle rayon la distance du centre au bord. Deux formules à ne surtout pas confondre.
Le périmètre du cercle, c'est la longueur du tour : il vaut deux fois pi fois le rayon. L'aire du disque, c'est la surface pleine à l'intérieur : elle vaut pi fois le rayon au carré. La grande différence, c'est le carré : pour l'aire, on élève le rayon au carré ; pour le périmètre, non.
Par exemple, avec un rayon de deux centimètres, l'aire du disque vaut trois virgule quatorze fois quatre, soit douze virgule cinquante-six centimètres carrés. Pense toujours : périmètre, rayon simple ; aire, rayon au carré.
Passons dans l'espace. Le volume mesure la place occupée à l'intérieur d'un solide. Pour un pavé droit, comme une boîte, on multiplie sa longueur, sa largeur et sa hauteur : trois mesures multipliées entre elles.
Pour un prisme droit, l'idée est différente et très utile : on calcule d'abord l'aire de sa base, puis on la multiplie par la hauteur. Imagine des couches identiques empilées : chaque couche a l'aire de la base, et il y en a autant que la hauteur. Le cylindre suit exactement le même principe : sa base est un disque, donc l'aire de base vaut pi fois le rayon au carré, et le volume vaut pi fois le rayon au carré fois la hauteur.
Retiens la grande règle des prismes et cylindres : aire de la base, multipliée par la hauteur.
Un dernier point souvent piégeux : les unités. Un volume se mesure avec une unité « au cube » : le centimètre cube est le volume d'un tout petit cube d'un centimètre de côté. Quand on change d'unité, attention, ça va vite : un décimètre cube vaut mille centimètres cubes, et un mètre cube vaut mille décimètres cubes.
Pour les liquides, on utilise les contenances, avec le litre. Le lien à retenir absolument : un litre égale un décimètre cube, et un millilitre égale un centimètre cube. Donc une brique de jus d'un litre occupe exactement mille centimètres cubes.
Quand un problème parle de remplir une piscine ou un réservoir, calcule le volume en décimètres cubes, puis convertis en litres : c'est la même chose.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.