4ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, faire tourner une roue. Les résultats possibles s'appellent les issues. Un événement est un ensemble d'issues qui nous intéresse (par exemple « obtenir un nombre pair »).
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire, on dit qu'il y a équiprobabilité. La probabilité d'un événement se calcule alors ainsi :
Exemple : avec un dé à 6 faces, la probabilité d'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) est 3 ÷ 6 = 0,5.
Une probabilité est toujours un nombre entre 0 et 1. Une probabilité de 0 signifie impossible ; une probabilité de 1 signifie certain ; 0,5 signifie une chance sur deux.
L'événement contraire d'un événement, c'est « il ne se produit pas ». Comme l'un des deux se produit forcément, leurs probabilités s'additionnent pour faire 1 :
Exemple : si la probabilité de gagner est 0,3, la probabilité de ne pas gagner est 1 − 0,3 = 0,7.
Quand une expérience se fait en deux étapes (par exemple deux tirages), on peut représenter toutes les possibilités par un arbre à deux niveaux. La probabilité d'un chemin s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long des branches.
Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'un résultat (nombre de fois obtenu ÷ nombre d'essais) se rapproche peu à peu de sa probabilité : elle se stabilise. Plus on lance, plus la fréquence approche la probabilité théorique.
Avant la théorie, voyons à quoi servent les probabilités. Partout où l'avenir est incertain, elles mesurent les chances. Dans les jeux, tu lances un dé ou tu tires une carte sans savoir ce qui va tomber : la probabilité te dit quelle chance tu as d'obtenir un 6.
À la météo, quand on annonce 70 pour cent de risque de pluie, c'est une probabilité calculée à partir de milliers de situations passées ressemblantes. Les assurances, elles, en vivent : pour fixer le prix d'un contrat, elles estiment la probabilité qu'un accident arrive, puis calculent ce qu'elles risquent de payer. Regarde l'animation : une urne d'où l'on tire une boule au hasard, et un arbre qui déploie toutes les possibilités quand on tire deux fois.
Voilà les deux images à garder en tête.
Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ignore le résultat avant de la faire : lancer un dé, tirer une boule dans une urne, faire tourner une roue. Chaque résultat possible s'appelle une issue. Avec un dé à six faces, il y a six issues : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Un événement, c'est un ensemble d'issues qui nous intéresse. Par exemple « obtenir un nombre pair » regroupe trois issues : 2, 4 et 6. On dit qu'il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont exactement la même chance de sortir, comme avec un dé bien équilibré.
Quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité d'un événement se calcule très simplement : on compte les cas favorables, ceux qui réalisent l'événement, et on divise par le nombre total de cas possibles. Avec un dé à six faces, obtenir un nombre pair : trois cas favorables, 2, 4 et 6, sur six cas possibles, soit trois sixièmes, égal 0,5. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Zéro veut dire impossible, un veut dire certain, et 0,5 veut dire une chance sur deux. Si tu trouves un nombre plus grand que 1, c'est que tu as inversé la division.
L'événement contraire d'un événement, c'est simplement « il ne se produit pas ». Quand on tire une boule, soit elle est rouge, soit elle n'est pas rouge : l'un des deux arrive forcément. Comme il est certain que l'un ou l'autre se réalise, la somme de leurs deux probabilités vaut toujours un.
Du coup, pour trouver la probabilité du contraire, on soustrait à un la probabilité de l'événement. Si la probabilité de gagner est 0,3, alors la probabilité de ne pas gagner est un moins 0,3, égal 0,7. C'est souvent le chemin le plus rapide : au lieu de compter directement, on compte le contraire et on fait un moins.
Quand une expérience se déroule en deux étapes, par exemple deux tirages à la suite, on dessine un arbre à deux niveaux. Du point de départ partent les branches du premier tirage ; puis de chaque branche repartent les branches du second tirage. Chaque chemin complet, du départ jusqu'au bout, représente un résultat possible.
Pour trouver la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités écrites le long des branches. Par exemple, si à chaque tirage la probabilité d'une boule rouge est 0,5, alors tirer deux rouges de suite vaut 0,5 multiplié par 0,5, égal 0,25. Multiplier le long des branches : voilà la règle de l'arbre.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.