4ᵉ · Mathématiques · Nombres et calculs
Développer une expression, c'est retirer les parenthèses en distribuant les facteurs. On passe d'un produit (une multiplication) à une somme (des additions et soustractions).
Un facteur k placé devant une parenthèse multiplie chaque terme de la parenthèse :
Exemple : 5(x + 3) = 5×x + 5×3 = 5x + 15. Le facteur va rendre visite à tous les termes, sans en oublier un seul.
Quand deux parenthèses se multiplient, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde. Cela fait quatre produits :
Exemple : (x + 2)(x + 5) = x×x + x×5 + 2×x + 2×5 = x² + 5x + 2x + 10.
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble, les nombres seuls ensemble. Dans l'exemple précédent, 5x + 2x se regroupent en 7x, donc le résultat réduit est x² + 7x + 10.
Factoriser, c'est passer d'une somme à un produit, en mettant en évidence un facteur commun présent dans tous les termes :
Exemple : 6x + 15 = 3×2x + 3×5 = 3(2x + 5). Le facteur commun 3 est mis devant la parenthèse. Pour vérifier, il suffit de redévelopper.
La distributivité rend certains calculs mentaux plus simples. Par exemple 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714. On développe pour tomber sur des nombres ronds.
Pour vérifier qu'une factorisation ou un développement est juste, on peut remplacer x par une valeur (par exemple x = 1) dans les deux membres et comparer : si les deux résultats sont égaux, l'égalité a de bonnes chances d'être vraie ; s'ils diffèrent, elle est fausse à coup sûr.
Avant la leçon, voyons à quoi sert de développer et de factoriser. Imagine un jardin rectangulaire découpé en deux parties : une bande de largeur cinq et de hauteur x, et une bande de largeur cinq et de hauteur trois. On peut calculer l'aire totale de deux façons.
Soit on voit un seul grand rectangle de largeur cinq et de hauteur x plus trois, ce qui donne cinq multiplié par la parenthèse x plus trois : c'est la forme factorisée. Soit on additionne l'aire des deux morceaux, cinq x plus quinze : c'est la forme développée. Les deux calculs donnent toujours le même résultat, c'est ce qui fait toute la force de la distributivité.
Développer et factoriser servent partout : à calculer de tête plus vite, à écrire des formules plus simples, à préparer la résolution des équations que tu verras bientôt. C'est un aller-retour entre deux écritures d'une même quantité, et savoir choisir la bonne écriture, c'est déjà faire des mathématiques.
Développer avec un seul facteur, c'est la simple distributivité. Le facteur k placé devant la parenthèse multiplie chaque terme du dedans. La règle : k fois la parenthèse a plus b donne k fois a, plus k fois b.
Prenons cinq fois la parenthèse x plus trois. Le cinq multiplie le x, ce qui donne cinq x ; puis le cinq multiplie le trois, ce qui donne quinze. Résultat développé : cinq x plus quinze.
Attention si la parenthèse contient une soustraction : cinq fois la parenthèse x moins trois donne cinq x moins quinze, le signe moins est conservé. Le piège classique, c'est de distribuer sur le premier terme et d'oublier le second : il faut bien servir tous les termes de la parenthèse.
Développer un produit de deux parenthèses, c'est la double distributivité. Cette fois, chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde. Cela fait quatre produits à ne pas oublier.
Prenons la parenthèse x plus deux, multipliée par la parenthèse x plus cinq. Le x de gauche multiplie le x de droite, ce qui donne x au carré ; le x de gauche multiplie le cinq, ce qui donne cinq x ; le deux multiplie le x, ce qui donne deux x ; enfin le deux multiplie le cinq, ce qui donne dix. On obtient x au carré plus cinq x plus deux x plus dix.
Il reste à réduire : cinq x plus deux x font sept x. Résultat : x au carré plus sept x plus dix. La méthode sûre, c'est de tracer les quatre flèches et de ne jamais en sauter une.
Factoriser, c'est l'opération inverse de développer : on part d'une somme et on revient à un produit. Pour cela, on cherche un facteur commun, c'est-à-dire un nombre ou une lettre présent dans tous les termes. Prenons six x plus quinze.
Le six s'écrit trois fois deux, et le quinze s'écrit trois fois cinq : le facteur commun est trois. On le met en évidence devant une parenthèse, et à l'intérieur on écrit ce qui reste : deux x plus cinq. On obtient trois fois la parenthèse deux x plus cinq.
Pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé, il suffit de redévelopper : trois fois deux x font six x, trois fois cinq font quinze, on retrouve bien le départ. Factoriser, c'est ranger une somme sous forme de produit.
La distributivité n'est pas réservée aux lettres : elle sert aussi à calculer de tête. L'idée est de couper un nombre pour tomber sur des nombres ronds. Prenons sept fois cent deux.
On voit cent deux comme cent plus deux. Alors sept fois cent deux égale sept fois la parenthèse cent plus deux, ce qui donne sept fois cent, plus sept fois deux, c'est-à-dire sept cents plus quatorze, donc sept cent quatorze. On peut aussi factoriser pour additionner malin : trente-cinq fois huit plus soixante-cinq fois huit, c'est huit en facteur commun, donc huit fois la parenthèse trente-cinq plus soixante-cinq, soit huit fois cent, égale huit cents.
Développer ou factoriser au bon moment transforme un calcul difficile en calcul facile.
12 des 31 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.