3ᵉ · Mathématiques · Espace et géométrie
Dans un triangle rectangle, le côté le plus long, en face de l'angle droit, est l'hypoténuse : il ne change jamais. Les deux autres côtés forment l'angle droit.
On se place ensuite par rapport à un angle aigu (jamais l'angle droit). Vu de cet angle :
• le côté opposé est en face de l'angle (il ne le touche pas) ;
• le côté adjacent touche l'angle, sans être l'hypoténuse.
Si on change d'angle aigu, opposé et adjacent s'échangent ; l'hypoténuse, elle, reste la même.
Pour un angle aigu, on définit trois rapports :
Pour les retenir : SOH-CAH-TOA — Sin = Opposé/Hyp, Cos = Adjacent/Hyp, Tan = Opposé/Adjacent. Comme l'hypoténuse est le plus long côté, sin et cos sont toujours entre 0 et 1.
Si on connaît l'angle et l'hypoténuse, on « remonte » la formule :
On tape le sinus ou le cosinus de l'angle à la calculatrice (mode degrés), puis on multiplie par l'hypoténuse.
Si on connaît deux côtés, on calcule le bon rapport, puis on utilise sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹ (souvent Shift puis sin, cos ou tan) pour remonter à l'angle. Exemple : si cos(angle) = 0,6, alors cos⁻¹(0,6) ≈ 53°.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus se complètent : leur somme fait 90°. On a aussi, pour un même angle, sin² + cos² = 1.
Avant les formules, regardons à quoi sert la trigonométrie. Partout où il y a un angle et des longueurs dans un coin droit, elle est là. Une route de montagne annonce dix pour cent de pente : c'est un angle relié à des côtés, et le sinus donne la hauteur gagnée.
Un géomètre veut connaître la hauteur d'un immeuble sans y grimper : il mesure un angle depuis le sol et une distance, la tangente fait le reste. En navigation, un bateau qui suit un cap décompose sa route en un déplacement horizontal avec le cosinus et vertical avec le sinus. Et dans les jeux vidéo, dès qu'un personnage vise ou se déplace en diagonale, la machine calcule des sinus et des cosinus des dizaines de fois par seconde.
La trigonométrie, c'est l'outil qui relie un angle à des longueurs.
Tout part du bon nom des côtés. Le plus long, en face de l'angle droit, c'est l'hypoténuse : elle ne bouge jamais. On choisit ensuite un angle aigu, celui de la question.
Le côté qui est juste en face de cet angle, qu'on atteint en traversant le triangle, c'est le côté opposé. Le côté qui touche l'angle, sans être l'hypoténuse, c'est le côté adjacent. Le piège classique, c'est de croire que l'opposé et l'adjacent sont fixés une fois pour toutes.
Non : si tu changes d'angle aigu, ils s'échangent. Seule l'hypoténuse reste fixe.
Voici le cœur du chapitre : trois rapports pour un même angle aigu. Le sinus, c'est le côté opposé divisé par l'hypoténuse. Le cosinus, c'est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse.
La tangente, c'est le côté opposé divisé par le côté adjacent. Pour ne rien confondre, retiens SOH-CAH-TOA : Sinus Opposé Hypoténuse, Cosinus Adjacent Hypoténuse, Tangente Opposé Adjacent. Un exemple : dans un triangle dont l'opposé mesure six, l'adjacent huit et l'hypoténuse dix, le sinus vaut six sur dix, soit zéro virgule six ; le cosinus huit sur dix, soit zéro virgule huit ; et la tangente six sur huit, soit zéro virgule sept cinq.
Trois nombres qui décrivent le même angle.
La trigonométrie ne sert pas qu'à décrire un angle : elle calcule une longueur qu'on ne peut pas mesurer. Imagine qu'on connaisse l'angle et l'hypoténuse et qu'on cherche le côté opposé. On part du sinus, sinus égale opposé sur hypoténuse, et on le retourne : opposé égale hypoténuse fois sinus de l'angle.
De la même façon, avec le cosinus, adjacent égale hypoténuse fois cosinus de l'angle. En pratique, on tape le sinus ou le cosinus à la calculatrice réglée en degrés, puis on multiplie. Par exemple, avec un sinus de zéro virgule huit et une hypoténuse de quinze, l'opposé mesure quinze fois zéro virgule huit, soit douze.
Dernier cas : on connaît deux côtés et on veut la mesure de l'angle. On choisit d'abord le bon rapport selon les côtés connus : opposé et hypoténuse, c'est le sinus ; adjacent et hypoténuse, c'est le cosinus ; opposé et adjacent, c'est la tangente. On calcule ce rapport, par exemple cosinus égale zéro virgule six.
Mais ce n'est pas encore l'angle : c'est seulement son cosinus. Pour passer du nombre à l'angle, on utilise une touche spéciale, cos moins un, souvent obtenue avec Shift puis cosinus. On tape cos moins un de zéro virgule six et la calculatrice affiche environ cinquante-trois degrés.
Il existe pareillement sin moins un et tan moins un. Ces touches font l'opération inverse : du nombre vers l'angle.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.