3ᵉ · Mathématiques · Organisation et gestion de données
Une série de données est un ensemble de valeurs récoltées (les notes d'une classe, les salaires d'une entreprise, les temps d'une course…). Le nombre total de valeurs s'appelle l'effectif total. Pour résumer une série, on utilise des indicateurs : la moyenne, la médiane et l'étendue.
La moyenne d'une série, c'est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total.
Exemple : pour 12, 8 et 10, la moyenne est (12 + 8 + 10) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne le tout, puis on divise par l'effectif total.
Exemple : trois 5 et deux 10 → (5×3 + 10×2) ÷ 5 = (15 + 20) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7.
La médiane partage la série en deux moitiés : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. On range d'abord les valeurs dans l'ordre croissant.
• Si l'effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu (pour 7 valeurs, la 4ᵉ).
• Si l'effectif est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
L'étendue mesure la dispersion : c'est la valeur maximale moins la valeur minimale.
La médiane coupe la série en deux ; les quartiles la coupent en quatre. Le premier quartile Q1 est une valeur telle qu'au moins un quart des données lui sont inférieures ou égales ; le troisième quartile Q3 telle qu'au moins trois quarts le sont. L'écart Q3 − Q1 (l'écart interquartile) décrit la dispersion de la moitié centrale de la série.
La moyenne donne le niveau général, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes : une seule valeur énorme la tire vers le haut. La médiane, elle, résiste aux extrêmes. L'étendue mesure la régularité : petite = valeurs serrées, grande = valeurs éparpillées.
Selon la question, un indicateur est plus parlant qu'un autre. Pour un salaire « typique », la médiane est souvent plus honnête que la moyenne (déformée par les hauts salaires). Pour comparer la régularité de deux joueurs, on regarde l'étendue. On croise souvent moyenne, médiane et étendue : chacune raconte une partie de l'histoire.
Avant la théorie, voyons à quoi servent ces indicateurs. Ton bulletin résume tout un trimestre par une moyenne : un seul nombre pour dix contrôles. Dans le sport, on compare les moyennes de buts par match ou les temps moyens au cent mètres.
Mais la moyenne peut mentir. Prends les salaires d'une entreprise : si le patron gagne énormément, la moyenne des salaires devient énorme, alors que la plupart des employés gagnent bien moins. C'est là que la médiane entre en jeu : c'est le salaire du milieu, celui qui partage l'entreprise en deux moitiés, et il ne se laisse pas déformer par le salaire du patron.
Les sondages, eux, adorent l'étendue et les extrêmes : de la plus basse à la plus haute opinion. Regarde l'animation : une série de données, sa moyenne, sa médiane, et l'écart entre son minimum et son maximum. Trois façons de résumer, trois repères qui ne disent pas toujours la même chose.
La moyenne résume une série en un seul nombre. On additionne toutes les valeurs, puis on divise par leur nombre. Pour les notes 12, 8 et 10, on fait 12 plus 8 plus 10, égale 30, divisé par 3, égale 10.
La moyenne est 10. C'est comme si tout le monde avait eu la même note, comme si on avait partagé équitablement. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
Si tu trouves une moyenne en dehors de cet intervalle, c'est qu'il y a une erreur de calcul. Et quand une valeur revient souvent, on utilise la moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif avant d'additionner.
La médiane partage la série en deux moitiés égales : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. D'abord, une étape à ne jamais oublier : on range les valeurs dans l'ordre croissant. Ensuite, si le nombre de valeurs est impair, la médiane est tout simplement la valeur du milieu.
Pour cinq valeurs rangées, c'est la troisième ; pour sept valeurs, la quatrième. Si le nombre est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales. Attention, la médiane n'est pas forcément égale à la moyenne : la moyenne fait un partage équitable, la médiane trouve le point central.
Sur les salaires, cette différence change tout.
L'étendue mesure la dispersion : c'est la plus grande valeur moins la plus petite. Pour les notes 8, 10 et 12, l'étendue vaut 12 moins 8, égale 4. Une petite étendue signifie des valeurs serrées, une grande étendue des valeurs éparpillées.
On peut aller plus loin avec les quartiles. La médiane coupe la série en deux ; les quartiles la coupent en quatre. Le premier quartile est une valeur telle qu'au moins un quart des données sont en dessous, le troisième quartile telle qu'au moins trois quarts le sont.
L'écart entre les deux, l'écart interquartile, décrit la dispersion de la moitié centrale, sans se laisser piéger par les extrêmes.
Pour comparer deux séries, deux classes ou deux joueurs, on regarde souvent la moyenne, la médiane et l'étendue ensemble. La moyenne donne le niveau général, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes : un seul nombre énorme la tire vers le haut. La médiane, elle, résiste aux extrêmes, c'est un repère plus fiable quand quelques valeurs sont très éloignées des autres.
L'étendue mesure la régularité. Toute la question est de choisir l'indicateur pertinent : pour un salaire typique, la médiane ; pour la régularité d'un joueur, l'étendue ; pour un niveau moyen équilibré, la moyenne. Un bon statisticien ne conclut jamais sur un seul indicateur.
12 des 32 questions de ce chapitre. Les réponses, et les explications de chacune, sont dans l'application.